Что такое экстремум функции на графике: максимум и минимум

Понятие экстремума встречается в ЕГЭ по математике в заданиях №8, №11 и №12. Без него не получится разобраться, где функция меняет направление роста, найти наибольшее или наименьшее значение на отрезке или правильно прочитать график производной. После этой статьи станет понятно, что такое максимум и минимум функции, как экстремум выглядит на графике, чем локальный экстремум отличается от глобального и как находить точки экстремума по чёткому алгоритму.

Что такое максимум и минимум функции

Представьте холм: идёшь в гору, достигаешь вершины, затем спускаешься. Вершина — это максимум. Теперь яма: спускаешься, достигаешь дна, затем поднимаешься. Дно — это минимум.

В математике то же самое, только строго.

Точка максимума — точка \(x_0\), в которой значение функции больше, чем в любой соседней точке: \[ f(x_0) \geq f(x) \quad \text{для всех } x \text{ в некоторой окрестности } x_0. \]

Точка минимума — точка \(x_0\), в которой значение функции меньше, чем в любой соседней точке: \[ f(x_0) \leq f(x) \quad \text{для всех } x \text{ в некоторой окрестности } x_0. \]

Экстремум — общее название для обоих случаев. Говорят: функция достигает экстремума в точке \(x_0\), а само значение \(f(x_0)\) и есть экстремум.

Ключевое ограничение: экстремум возможен только в критической точке — там, где производная равна нулю или не существует: \[ f'(x) = 0 \quad \text{или} \quad f'(x) \text{ не существует.} \]

Это необходимое условие, но не достаточное — о подводных камнях разговор пойдёт в разделе про ошибки.

Что такое экстремум функции на графике

Что такое экстремум функции на графике — видно сразу: это «горбы» (максимумы) и «ямки» (минимумы).

Горб — участок, где функция сначала росла, потом стала убывать. Самая высокая точка горба — точка максимума.

Ямка — участок, где функция сначала убывала, потом стала расти. Самая низкая точка ямки — точка минимума.

Горизонтальная касательная. В точке экстремума (там, где производная существует) касательная к графику всегда горизонтальна. Это прямое следствие геометрического смысла производной: \[ f'(x_0) = k = \operatorname{tg}\alpha. \] Если касательная горизонтальна, то \(\alpha = 0\) и \(\operatorname{tg}\alpha = 0\), значит \(f'(x_0) = 0\).

Как находить экстремумы прямо по виду графика (задание №8 ЕГЭ). Дан готовый график \(f(x)\) с отмеченными точками, нужно найти точки экстремума.

Формулы здесь не нужны — только внимательное чтение графика.

Что такое локальный экстремум функции

Что такое локальный экстремум функции — понятие, которое часто вызывает путаницу при подготовке к экзамену.

Локальный (относительный) экстремум — максимум или минимум в некоторой окрестности точки, то есть в небольшом промежутке вокруг неё. На всей области определения функции таких точек может быть несколько.

Глобальный (абсолютный) экстремум — наибольшее или наименьшее значение функции на всём рассматриваемом отрезке или области определения.

Разница на примере: у функции на отрезке \([a;\,b]\) может быть три «ямки» — три локальных минимума. Но наименьшее значение на всём отрезке одно. И оно не обязательно совпадает с самой глубокой ямкой: наименьшее значение может достигаться на конце отрезка, а не внутри.

На ЕГЭ в задании №12 спрашивают именно глобальный экстремум. Поэтому в таких задачах проверяются и критические точки, и концы отрезка.

Как найти экстремумы функции: пошаговый алгоритм

Вот что такое экстремум функции и как его найти — алгоритм, работающий для любой дифференцируемой функции.

Разбор примера. Найти экстремумы функции \(f(x) = x^3 - 3x\).

Шаг 1. Производная: \[ f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3. \]

Шаг 2. Критические точки: \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1. \]

Шаг 3. Таблица знаков:

| Промежуток | \((-\infty;\,-1)\) | \(x=-1\) | \((-1;\,1)\) | \(x=1\) | \((1;\,+\infty)\) | |---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Знак \(f'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | | \(f\) | возрастает | | убывает | | возрастает |

Шаг 4.

• - В точке \(x = -1\): знак меняется с \(+\) на \(-\) → максимум. Значение: \(f(-1) = -1 + 3 = 2\).
• - В точке \(x = 1\): знак меняется с \(-\) на \(+\) → минимум. Значение: \(f(1) = 1 - 3 = -2\).

Производные, которые понадобятся при поиске экстремумов:

Чтение графика производной: как найти экстремумы функции по f′

Задание №8 ЕГЭ в одном из вариантов выглядит так: дан не сам график \(f\), а график её производной \(f'\), и нужно найти точки экстремума функции \(f\).

Чтобы разобраться, что такое экстремум функции на графике производной, достаточно одного правила:

• - Там, где \(f' > 0\) (график выше оси \(Ox\)) — функция \(f\) возрастает.
• - Там, где \(f' < 0\) (график ниже оси \(Ox\)) — функция \(f\) убывает.
• - Там, где \(f'\) пересекает ось \(Ox\) со сменой знака — у \(f\) экстремум.

Пример. Пусть график \(f'\) пересекает ось в трёх точках. В первой знак меняется с \(+\) на \(-\), во второй — с \(-\) на \(+\), в третьей — касается оси и уходит обратно вниз (знак не меняется). Ответ: 2 точки экстремума.

Похожая логика работает в задачах с физическим смыслом: если \(s(t)\) — координата тела, то \(v(t) = s'(t)\) — его скорость. Смена знака скорости означает смену направления движения — это и есть экстремум координаты.

Типичные ошибки при поиске экстремумов

Разберём конкретные заблуждения, из-за которых теряются баллы.

Ошибка 1. Любая критическая точка — точка экстремума.

Это не так. Пример: \(f(x) = x^3\). \[ f'(x) = 3x^2, \quad f'(0) = 0. \] Критическая точка \(x = 0\) есть. Но знак \(f' = 3x^2\) не меняется — производная неотрицательна по обе стороны от нуля. Функция не меняет монотонность, просто «замедляется» в нуле и продолжает расти. Экстремума нет.

Антидот: нулевое значение производной — это только повод проверить знак. Решение принимается по таблице знаков, а не по факту \(f'(x_0) = 0\).

Ошибка 2. Путают графики f и f′.

Если дан график \(f'\), ученик читает его как сам график \(f\) — смотрит, где горб, и называет его максимумом функции.

Ошибка 3. «Точка минимума» и «минимум функции» — одно и то же.

Нет. Точка минимума — это абсцисса \(x_0\) (число на оси \(Ox\)). Минимум функции — это значение \(f(x_0)\) (число на оси \(Oy\)). Если задание спрашивает «точку минимума» — нужен \(x_0\); если «наименьшее значение» — нужен \(f(x_0)\). Путаница даёт неверный ответ даже при правильных вычислениях.

Ошибка 4. На отрезке ищут наибольшее значение только среди критических точек.

Ошибка 5. Забывают производную внутренней функции.

При дифференцировании \(\sin(3x)\) нужно применить цепное правило: \[ \bigl(\sin(3x)\bigr)' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x). \]

Частые вопросы

Что такое экстремум функции на графике?

На графике экстремум — это «горб» (максимум) или «ямка» (минимум): точка, где функция меняет монотонность. В такой точке касательная к графику горизонтальна, то есть \(f'(x_0) = 0\). Визуально максимум выглядит как вершина холма, минимум — как дно ямы.

Что такое максимум и минимум функции?

Максимум функции в точке \(x_0\) — это значение \(f(x_0)\), превышающее значения функции во всех соседних точках. Минимум — значение, которое меньше соседних. Вместе они образуют понятие экстремума. Точки, где они достигаются, называются точками максимума и минимума.

Что такое экстремум функции и как его найти?

Экстремум — это максимальное или минимальное значение функции в окрестности некоторой точки. Алгоритм поиска: найти производную \(f'(x)\), решить уравнение \(f'(x) = 0\), составить таблицу знаков производной, определить характер каждой критической точки по смене знака.

Что такое локальный экстремум функции?

Локальный экстремум — максимум или минимум в окрестности конкретной точки, не обязательно на всём отрезке. На одном отрезке бывает несколько локальных минимумов, но наименьшее значение функции на отрезке только одно — и оно может достигаться на конце, а не в точке локального минимума.

Что такое экстремумы функции и как их находить?

Экстремумы функции — точки, где функция меняет монотонность. Находят их через производную: берут \(f'(x)\), находят критические точки (\(f'=0\)), затем по таблице знаков производной определяют, где максимум, а где минимум. Если дан график производной, экстремумы функции соответствуют точкам пересечения графика \(f'\) с осью \(Ox\) при условии смены знака.

По этой теме есть отдельный разбор: вершина параболы — простейший пример экстремума.

По этой теме есть отдельный разбор: задания на графики функций в ЕГЭ профиль.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое производная функции.

По этой теме есть отдельный разбор: задачи на производную в ЕГЭ шаг за шагом.