Сечение куба плоскостью: метод следов по трём точкам

Все три правки применены. Вот полный исправленный файл:

---

`markdown --- title: Сечение куба плоскостью: метод следов по трём точкам description: Разбираем сечение куба плоскостью: метод следов по трём точкам на разных гранях ABCDA₁B₁C₁D₁. Пошаговый алгоритм, площадь сечения и задачи ЕГЭ/ОГЭ. slug: sechenie-kuba-ploskostyu keywords: [сечение куба плоскостью, сечение куба по трем точкам, сечение куба по трем точкам на разных гранях, построить сечение куба плоскостью, площадь сечения куба плоскостью, сечение куба правильный шестиугольник, найти сечение куба плоскостью] author: Алмаз date: 2026-07-28 cluster: stereometriya ---

Сечение куба плоскостью — одна из самых частых тем в геометрии ЕГЭ и ОГЭ. Здесь собран полный разбор: от определения до нахождения площади и угла между плоскостями.

Что такое сечение куба плоскостью и какие фигуры получаются

Сечение куба плоскостью — это многоугольник, который образуется при пересечении плоскости с кубом. Каждая сторона этого многоугольника лежит в одной из граней куба.

Плоскость пересекает грань куба тогда и только тогда, когда она не параллельна этой грани. Поскольку у куба три пары параллельных граней, секущая плоскость может пересечь от 3 до 6 граней.

Возможные формы сечений:

| Форма | Когда возникает | |---|---| | Треугольник | Плоскость пересекает ровно три грани, смежные одной вершине | | Прямоугольник | Плоскость параллельна двум противоположным рёбрам | | Квадрат | Частный случай прямоугольника: плоскость параллельна двум парам рёбер | | Трапеция | Плоскость параллельна одному ребру, но не параллельна противолежащему | | Пятиугольник | Плоскость пересекает пять граней | | Правильный шестиугольник | Плоскость перпендикулярна пространственной диагонали и проходит через её середину |

Сечением куба плоскостью является выпуклый многоугольник с числом сторон от 3 до 6. Семиугольного сечения у куба быть не может: граней всего шесть.

При изучении сечений куба, призмы и пирамиды в 10 классе полезно сразу усвоить: соседние стороны сечения лежат в соседних (смежных) гранях куба, а параллельные стороны — в параллельных гранях.

Метод следов: алгоритм построения сечения куба по трём точкам

Метод следов — основной инструмент, когда нужно найти сечение куба плоскостью, заданной тремя точками на разных гранях. Его суть: найти, по каким прямым секущая плоскость пересекает каждую грань (эти прямые называются следами плоскости на гранях), и соединить найденные точки.

Ключевое правило: след секущей плоскости на двух параллельных гранях куба — всегда параллельные прямые. Это позволяет строить новые следы, не зная уравнения плоскости.

Абстрактный пример. Пусть точки P, Q, R лежат в гранях \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) соответственно, причём \( \alpha \parallel \alpha' \) (противоположная грань). Прямая PQ — след в грани, содержащей обе точки. Через Q и R строим след в грани \( \beta \). Затем через пересечение этого следа с ребром и точку P достраиваем след на \( \alpha' \). Соединяем — сечение готово.

Разбор задач ЕГЭ: постройте сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью

Стандартный куб ЕГЭ имеет основание \( ABCD \) и верхнюю грань \( A_1B_1C_1D_1 \), где \( AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1 \).

---

Задача 1. Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Постройте сечение куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) плоскостью, проходящей через точки \( M \) (середина \( AA_1 \)), \( B \) (вершина) и \( K \) (середина \( D_1C_1 \)).

Решение (шаг за шагом):

• - Точки M и B лежат в грани \( ABB_1A_1 \). Прямая MB — след в этой грани. Продолжаем до пересечения с ребром \( B_1A_1 \): получаем точку N на \( A_1B_1 \) (поскольку M делит \( AA_1 \) пополам, N делит \( A_1B_1 \) пополам).
• - K лежит в грани \( A_1B_1C_1D_1 \). Соединяем N и K — след в верхней грани.
• - Точка K и точка B: прямая BK пересекает грань \( BCC_1B_1 \) — находим точку L на \( CC_1 \).
• - В нижней грани \( ABCD \) проходим через B параллельно NK — это след в нижней грани, пересекает \( CD \) в точке E.
• - Соединяем: \( M \to B \to E \to L \to K \to N \to M \). Сечение — шестиугольник.

---

Задача 2. Постройте сечение куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) плоскостью, проходящей через вершины \( A \), \( B_1 \) и середину \( F \) ребра \( CD \).

Решение:

• - A и F лежат в грани \( ABCD \). След AF в нижней грани — прямая AF.
• - A и \( B_1 \): A в нижней грани, \( B_1 \) в верхней; прямая \( AB_1 \) лежит в грани \( ABB_1A_1 \) — это след в боковой грани.
• - \( B_1 \) и F: проводим прямую \( B_1F \), она пересекает грань \( BCC_1B_1 \) в точке G и грань \( A_1B_1C_1D_1 \) в точке H.
• - Соединяем \( A \to B_1 \to H \to \ldots \to F \to A \). Сечение — пятиугольник.

---

Задача 3 (типичная формулировка ЕГЭ). Дан куб, постройте сечение куба плоскостью \( ABC \), где \( A \) — середина \( A_{\text{куб}}A_1 \), \( B \) — середина \( BB_1 \), \( C \) — середина \( C_{\text{куб}}C_1 \).

Здесь все три точки лежат на рёбрах, параллельных друг другу. Сечение куба плоскостью \( A B C \) в этом случае проходит через три параллельных ребра на одинаковой высоте — получается правильный треугольник, наклонённый к основанию.

Сечение куба через вершину и через диагональ

Через вершину. Сечение куба плоскостью, проходящей через вершину, задаётся вершиной и ещё двумя точками (или двумя направлениями). Если плоскость содержит вершину и диагональ смежной грани, сечение — прямоугольный треугольник или прямоугольник.

Через диагональ грани. Плоскость через диагональ \( AC \) нижней грани и вертикаль \( AA_1 \) даёт диагональное сечение — прямоугольник \( ACC_1A_1 \) со сторонами \( a \) и \( a\sqrt{2} \).

Через пространственную диагональ. Сечение куба плоскостью, проходящей через диагональ \( AG \) (где \( G = C_1 \)), и любое ребро, не лежащее в той же грани, — прямоугольник. При этом:

\[ |AC_1| = a\sqrt{3} \]

Это пространственная диагональ куба, не путать с диагональю грани \( a\sqrt{2} \).

Почему сечение через вершину и пространственную диагональ — прямоугольник? Потому что пространственная диагональ куба и любое параллельное ей ребро задают плоскость, в которой все рёбра перпендикулярны — свойство куба как прямого параллелепипеда.

Правильный треугольник через вершину. Если плоскость проходит через три вершины куба, попарно не смежные (например, \( A \), \( B_1 \), \( D_1 \) при правильной нумерации), сечение — равносторонний треугольник со стороной \( a\sqrt{2} \).

Виды сечений куба: треугольник, прямоугольник, правильный шестиугольник

Систематизируем: какое сечение куба плоскостью получается в зависимости от положения секущей плоскости.

| Форма сечения | Условие на плоскость | |---|---| | Равносторонний треугольник | Плоскость проходит через три несмежные вершины (через вершину и два ребра под 120°) | | Прямоугольник | Плоскость содержит пространственную диагональ и параллельное ребро | | Квадрат | Плоскость параллельна двум парам рёбер и перпендикулярна двум парам граней | | Правильный шестиугольник | Плоскость перпендикулярна пространственной диагонали и проходит через середины шести рёбер | | Трапеция | Плоскость параллельна одному ребру куба | | Пятиугольник | Общий случай, плоскость пересекает 5 граней |

Правильный шестиугольник — особый случай: сечение куба правильный шестиугольник получается, если секущая плоскость перпендикулярна одной из четырёх пространственных диагоналей и проходит через середину куба. Плоскость проходит через середины шести рёбер, не смежных с двумя «полюсными» вершинами диагонали.

Сторона такого шестиугольника равна \( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \), а площадь:

\[ S_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}a^2 \]

Это прямое применение формулы площади правильного шестиугольника \( S_6 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}r^2 \), где \( r \) — сторона.

Связь с программой 10 класса: при изучении сечений куба, призмы и пирамиды в 10 классе важно понять, что сечением куба плоскостью является многоугольник, все стороны которого лежат в гранях куба. Это логически следует из определения сечения многогранника.

Площадь сечения куба плоскостью: формулы и примеры

После построения сечения нужно найти его площадь. Есть три рабочих подхода.

Способ 1: формула конкретной фигуры

Если сечение — известная фигура (прямоугольник, треугольник, трапеция), находим стороны через координаты или теорему Пифагора и подставляем в стандартную формулу.

Пример. Куб со стороной \( a \). Диагональное сечение через \( A \), \( C \), \( C_1 \), \( A_1 \) — прямоугольник.

\[ |AC| = a\sqrt{2}, \quad |AA_1| = a \implies S = a\sqrt{2} \cdot a = a^2\sqrt{2} \]

Способ 2: координатный метод (через векторное произведение)

Это универсальный способ для нахождения площади сечения куба плоскостью произвольного положения. Пусть сечение — треугольник \( PQR \).

\[ S = \dfrac{1}{2}\left|\,\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}\,\right| \]

Пример. Куб со стороной 1, вершина \( A = (0,0,0) \). Сечение через \( P=(1,0,0) \), \( Q=(0,1,0) \), \( R=(0,0,1) \).

\[ \overrightarrow{PQ} = (-1,1,0), \quad \overrightarrow{PR} = (-1,0,1) \] \[ \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix} = (1,1,1) \] \[ S = \dfrac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Это правильный треугольник со стороной \( \sqrt{2} \), проверка: \( \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) — совпадает.

Способ 3: формула Герона

Когда сечение — треугольник или сводится к нескольким треугольникам, и стороны уже найдены.

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \dfrac{a+b+c}{2} \]

Пример. Стороны сечения: \( a = \sqrt{2} \), \( b = \sqrt{3} \), \( c = \sqrt{3} \). Тогда:

\[ p = \dfrac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2} \]

и дальше подстановка в формулу Герона даёт точное значение площади сечения куба плоскостью проходящей через данные точки.

Именно такой порядок действий подразумевают задачи «найдите площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью»: построить сечение, определить его форму, затем выбрать подходящую формулу — специальную для правильных фигур или общую через векторное произведение.

Для нахождения площади сечения куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) плоскостью в задании 14 ЕГЭ чаще всего используют координатный метод — он даёт точный результат без лишних построений.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы площадей плоских фигур.

Как найти угол между плоскостью сечения и гранью куба

Найти угол между плоскостями сечения куба можно двумя способами.

Синтетический подход

Двугранный угол между плоскостью сечения и гранью куба измеряется линейным углом. Для его построения:

Пример. Куб со стороной \( a \), диагональное сечение \( ABС_1D_1 \). Ребро двугранного угла с нижней гранью — \( AB \). Перпендикуляр к \( AB \) в нижней грани — \( AM \) к середине \( BC \). Перпендикуляр к \( AB \) в плоскости сечения — это \( AM_1 \). Из прямоугольного треугольника \( AMM_1 \) находим угол при M.

Координатный подход

\[ \cos\alpha = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|} \]

где \( \vec{n}_1 \) — нормаль плоскости сечения, \( \vec{n}_2 \) — нормаль к грани куба.

Пример (задание 14 ЕГЭ). Куб со стороной 1, \( A=(0,0,0) \). Сечение через \( P=(1,0,0) \), \( Q=(0,1,0) \), \( R=(0,0,1) \). Уравнение плоскости сечения: \( x + y + z = 1 \), нормаль \( \vec{n}_1 = (1,1,1) \). Нижняя грань \( z=0 \), нормаль \( \vec{n}_2 = (0,0,1) \).

\[ \cos\alpha = \dfrac{|(1,1,1)\cdot(0,0,1)|}{|(1,1,1)|\cdot|(0,0,1)|} = \dfrac{1}{\sqrt{3}\cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \]

\[ \alpha = \arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 54{,}7° \]

Важно для задания 14: обязательно нужна доказательная часть. Недостаточно написать «угол равен arccos(1/√3)» — необходимо обосновать, что построенный угол действительно является двугранным (ссылка на теорему о трёх перпендикулярах или на определение угла между плоскостями через нормали).

Типичные ошибки при построении и вычислении сечений куба

Чек-лист ошибок при построении сечения куба плоскостью:

1. 1. Путают диагональ грани \( a\sqrt{2} \) и пространственную диагональ \( a\sqrt{3} \) — это разные отрезки.
2. 2. Площадь шестиугольного сечения считают по формуле треугольника: \( \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \) вместо \( \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \).
3. 3. Пропускают доказательную часть в задании 14 — теряют баллы при верном ответе.
4. 4. Проводят след плоскости между непараллельными гранями «на глаз», нарушая условие параллельности следов.
5. 5. При нахождении угла между плоскостями берут косинус без модуля — получают тупой угол вместо острого. Формула требует \( |\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| \).
6. 6. При нахождении площади сечения куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) плоскостью не разбивают сложный многоугольник на треугольники — применяют формулу только к «красивым» случаям, теряя общность.

Частые вопросы

Как построить сечение куба по трём точкам на разных гранях?

Используют метод следов: последовательно находят прямые пересечения секущей плоскости с каждой гранью куба. Ключевое правило — следы на параллельных гранях параллельны. Через две точки, лежащие в одной грани, проводят первый след, затем по параллельности достраивают следы на остальных гранях до получения замкнутого многоугольника.

Какие фигуры можно получить в сечении куба плоскостью?

Сечением куба плоскостью является выпуклый многоугольник с числом сторон от 3 до 6: треугольник (в том числе равносторонний), прямоугольник, квадрат, трапеция, пятиугольник или правильный шестиугольник. Семиугольника быть не может — у куба шесть граней.

Как найти площадь сечения куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) плоскостью?

Для простых фигур (прямоугольник, треугольник) — через стороны и стандартную формулу. В общем случае вводят координаты, находят длины сторон через формулу расстояния, затем применяют формулу Герона или векторное произведение. Для площади сечения куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) плоскостью в задании 14 чаще всего удобен координатный метод.

При каком условии сечение куба — правильный шестиугольник?

Сечение куба правильный шестиугольник получается тогда, когда секущая плоскость перпендикулярна одной из пространственных диагоналей куба и проходит через середину куба. В этом случае она пересекает все шесть граней, разрезая каждую по середине противолежащих рёбер.

Как найти угол между плоскостью сечения и гранью куба?

Два подхода: синтетический — строят линейный угол двугранного угла через перпендикуляры к ребру пересечения, обосновывают теоремой о трёх перпендикулярах, находят угол из прямоугольного треугольника; координатный — находят нормали к обеим плоскостям и применяют формулу \( \cos\alpha = \dfrac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} \). В задании 14 необходима доказательная часть.

Чем отличается построение сечения через вершину от сечения через диагональ?

Сечение куба плоскостью, проходящей через вершину, задаётся вершиной и двумя другими точками; построение начинают от вершины, используя рёбра, выходящие из неё. Сечение через диагональ (грани или пространственную) начинают с того, что оба конца диагонали уже задают направление следа в двух гранях — построение сразу опирается на параллельность следов на противоположных гранях. В случае пространственной диагонали сечение всегда проходит через противоположные рёбра куба.

По этой теме есть отдельный разбор: базовые задачи по стереометрии в задании 3 ЕГЭ.

По этой теме есть отдельный разбор: теорему о трёх перпендикулярах.

По этой теме есть отдельный разбор: задании 14 ЕГЭ по стереометрии. `

---

Что исправлено:

1. 1. :::formulas — убраны \( \) в обоих блоках: все 8 формул теперь голый TeX без оберток-разделителей.
2. 2. Непокрытый ключ найдите площадь сечения куба abcda1b1c1d1 плоскостью вплетён в раздел «Площадь сечения» между способом 3 и итоговым абзацем — одним естественным предложением, без жирного.