Логарифмы

Логарифмы ЕГЭ база: задачи, формулы и свойства 2026

Логарифмы ЕГЭ база 2026: в каких заданиях встречаются (6, 9, 13, 16) и как решать. Разбираем 5–6 формул и три типа задач с нуля — без лишней теории.

11 мин чтения
#Логарифмы#логарифмы егэ база#логарифмы егэ база 2026#как решать логарифмы егэ база#формулы логарифмы 10 класс

Теперь верну полный файл пользователю:

--- title: Логарифмы ЕГЭ база: задачи, формулы и свойства 2026 description: Логарифмы ЕГЭ база 2026: в каких заданиях встречаются (6, 9, 13, 16) и как решать. Разбираем 5–6 формул и три типа задач с нуля — без лишней теории. slug: logarifmy-ege-baza keywords: [логарифмы егэ база, логарифмы егэ база 2026, как решать логарифмы егэ база, формулы логарифмы 10 класс, логарифмы егэ база свойства, 16 задание егэ база логарифмы, задание с логарифмами егэ база] author: Алмаз date: 2026-08-05 cluster: logarifmy ---

Есть ли логарифмы в ЕГЭ база — и какое задание?

Логарифмы в ЕГЭ база встречаются в нескольких заданиях КИМ 2024–2026: задание 6 (числовые выражения), задание 9 (преобразование выражений), задание 13 (уравнения) и задания 15–16 (неравенства). Это значит, что тема напрямую влияет на итоговый балл — причём разобрать её с нуля реально за несколько занятий, потому что вся она сводится к пяти-шести формулам и трём типам задач.

Определение. Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\):

\[ \log_a b = c \iff a^c = b, \quad a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0 \]

Проще всего запомнить через вопрос: «в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент?» Например, \(\log_2 8 = 3\), потому что \(2^3 = 8\).

Область допустимых значений (ОДЗ). Логарифмическое выражение имеет смысл только при одновременном выполнении трёх условий:

\[ \log_{a(x)} f(x):\quad f(x) > 0,\quad a(x) > 0,\quad a(x) \neq 1 \]

Подлогарифмическое выражение строго положительно — ноль и отрицательные числа недопустимы. Проверка ОДЗ нужна в каждой задаче; именно её пропускают чаще всего.

Для справки: логарифм по основанию 10 записывается \(\lg b\), по основанию \(e \approx 2{,}718\) — \(\ln b\). В заданиях ЕГЭ базового уровня чаще встречаются \(\log_2\), \(\log_3\), \(\log_5\) и \(\lg\).

---

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки

Свойства и формулы логарифмов для ЕГЭ база

Формулы логарифмов 10 класса, которые изучают по программе ЕГЭ база, укладываются в двенадцать строк. Ниже — полная таблица с пояснением.

Опорные значения
\[\log_a 1 = 0,\quad \log_a a = 1,\quad \log_a a^k = k\]
Основное тождество
\[a^{\log_a b} = b\]
Логарифм произведения
\[\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,\quad x>0,\ y>0\]
Логарифм частного
\[\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,\quad x>0,\ y>0\]
Логарифм степени
\[\log_a x^p = p\,\log_a x,\quad x>0\]
Формула перехода к новому основанию
\[\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a},\quad c>0,\ c\neq 1\]
Степень в основании
\[\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k}\log_a b\]
Взаимно обратные логарифмы
\[\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\]
Модуль при чётной степени
\[\log_a x^2 = 2\log_a |x|,\quad x\neq 0\]
Цепное свойство (свёртка)
\[\log_a c \cdot \log_c b = \log_a b\]
Перестановка аргументов
\[\log_a b \cdot \log_c d = \log_a d \cdot \log_c b\]
Сокращение одинаковой степени
\[\log_{a^n} b^n = \log_a b\]

С чего начать. Первое, что стоит выучить наизусть, — опорные значения: \(\log_2 8 = 3\), \(\log_2 16 = 4\), \(\log_3 9 = 2\), \(\log_3 81 = 4\), \(\log_5 25 = 2\), \(\lg 100 = 2\), \(\lg 1000 = 3\). Они дают мгновенный старт и позволяют проверить промежуточный результат в уме.

Цепное свойство в действии.

\[ \log_7 9 \cdot \log_3 7 = \log_3 9 = 2 \]

Аргумент правого логарифма \(7\) совпадает с основанием левого — «средний» элемент сокращается.

Сокращение степеней.

\[ \log_4 25 = \log_{2^2} 5^2 = \log_2 5 \]

Одинаковый показатель у основания и у аргумента уходит, логарифм упрощается.

---

Задания с логарифмами в ЕГЭ база: примеры из ФИПИ

Задания с логарифмами в ЕГЭ математика база на вычисление (задания 6 и 9) требуют довести выражение до числа. Три типовых примера из открытого банка ФИПИ — с указанием использованной формулы.

Пример 1. Найдите значение: \(\log_3 \dfrac{1}{27}\).

  1. Переход через определение
  2. Шаг 1. Представить аргумент как степень основания: \(\dfrac{1}{27} = 3^{-3}\).
  3. Шаг 2. Опорное значение: \(\log_3 3^{-3} = -3\).
  4. Ответ: \(-3\).

Пример 2. Найдите значение: \(\log_2 6 - \log_2 3\).

  1. Логарифм частного
  2. Шаг 1. Применить свойство разности: \(\log_2 6 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{6}{3} = \log_2 2\).
  3. Шаг 2. Опорное значение: \(\log_2 2 = 1\).
  4. Ответ: \(1\).

Пример 3. Найдите значение: \(3^{\,\log_3 5 + \log_3 2}\).

  1. Основное тождество и логарифм произведения
  2. Шаг 1. Свернуть показатель: \(\log_3 5 + \log_3 2 = \log_3 10\).
  3. Шаг 2. Основное тождество: \(3^{\log_3 10} = 10\).
  4. Ответ: \(10\).

В задании 9 часто встречается приведение к одному основанию. Например, \(\log_4 x\) заменяется на \(\tfrac{1}{2}\log_2 x\) по правилу степени в основании — и всё выражение сводится к логарифмам по основанию 2.

---

Как решать логарифмические уравнения в ЕГЭ база

Задание 13 — главное место, где проверяются логарифмические уравнения ЕГЭ база. Три подтипа с пошаговыми алгоритмами.

Подтип 1. Простейшее уравнение \(\log_a f(x) = c\).

  1. Алгоритм простейшего логарифмического уравнения
  2. Шаг 1. Записать ОДЗ: \(f(x) > 0\).
  3. Шаг 2. Перейти к показательной записи: \(f(x) = a^c\).
  4. Шаг 3. Решить алгебраическое уравнение.
  5. Шаг 4. Проверить каждый корень по ОДЗ, исключить посторонние.

Пример: \(\log_3(x - 2) = 2\). ОДЗ: \(x > 2\). Тогда \(x - 2 = 9\), \(x = 11\). Проверка: \(11 > 2\) — подходит.

Подтип 2. Уравнение \(\log_a f = \log_a g\).

Если в обеих частях логарифмы с одинаковым основанием, аргументы приравниваются.

  1. Уравнение с логарифмами в обеих частях
  2. Шаг 1. Выписать ОДЗ: \(f(x) > 0\) и \(g(x) > 0\).
  3. Шаг 2. Приравнять аргументы: \(f(x) = g(x)\).
  4. Шаг 3. Решить уравнение.
  5. Шаг 4. Проверить каждый корень по ОДЗ.

Пример: \(\log_2(x + 1) = \log_2(2x - 3)\). ОДЗ: \(x > \tfrac{3}{2}\). Тогда \(x + 1 = 2x - 3\), \(x = 4\). Проверка: \(4 > \tfrac{3}{2}\) — подходит.

Подтип 3. Замена переменной.

Когда в уравнении повторяется одно и то же логарифмическое выражение — чаще всего уравнение оказывается квадратным относительно логарифма.

  1. Метод замены переменной
  2. Шаг 1. Ввести замену \(t = \log_a x\), указать, что \(x > 0\).
  3. Шаг 2. Переписать уравнение как алгебраическое относительно \(t\) и решить его.
  4. Шаг 3. Для каждого \(t\) вернуться к \(x\): \(x = a^t\).
  5. Шаг 4. Проверить корни по ОДЗ.

Пример: \((\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0\). Замена \(t = \log_2 x\): \(t^2 - 3t + 2 = 0\), \(t = 1\) или \(t = 2\). Возврат: \(x = 2\) и \(x = 4\). Оба положительны — подходят.

---

Логарифмические неравенства: задание 15–16 ЕГЭ база

В заданиях 15–16 на базе егэ с логарифмами неравенства проверяют знание ключевого факта: знак зависит от основания.

Коротко

  • При \(a > 1\) функция \(y = \log_a x\) возрастает: знак неравенства между аргументами сохраняется.
  • При \(0 < a < 1\) функция \(y = \log_a x\) убывает: знак неравенства между аргументами меняется на противоположный.

Случай 1. Основание больше 1.

Пример: \(\log_2(x - 1) > 3\).

  1. Неравенство с основанием больше 1
  2. Шаг 1. ОДЗ: \(x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\).
  3. Шаг 2. Правую часть превратить в логарифм: \(3 = \log_2 2^3 = \log_2 8\).
  4. Шаг 3. Основание \(2 > 1\) — знак сохраняется: \(x - 1 > 8 \Rightarrow x > 9\).
  5. Шаг 4. Пересечь с ОДЗ: \(x > 9\) включает \(x > 1\).

Ответ: \(x \in (9;\, +\infty)\).

Случай 2. Основание меньше 1.

Пример: \(\log_{0{,}5}(3 - x) \geq -2\).

  1. Неравенство с основанием из (0; 1)
  2. Шаг 1. ОДЗ: \(3 - x > 0 \Rightarrow x < 3\).
  3. Шаг 2. Правую часть превратить в логарифм: \(-2 = \log_{0{,}5}(0{,}5)^{-2} = \log_{0{,}5} 4\).
  4. Шаг 3. Основание \(0{,}5 < 1\) — знак меняется: \(3 - x \leq 4 \Rightarrow x \geq -1\).
  5. Шаг 4. Пересечь с ОДЗ: \(-1 \leq x < 3\).

Ответ: \(x \in [-1;\, 3)\).

Случай 3. Переменное основание — метод рационализации.

Когда основание содержит \(x\), разбор двух случаев становится громоздким. Метод рационализации сокращает запись: знак разности \(\log_a f - \log_a g\) совпадает со знаком \((a - 1)(f - g)\).

  1. Метод рационализации
  2. Шаг 1. ОДЗ: \(a(x) > 0\), \(a(x) \neq 1\), \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\).
  3. Шаг 2. Переписать неравенство: знак \(\log_a f \gtrless \log_a g\) равносилен знаку \((a-1)(f-g) \gtrless 0\).
  4. Шаг 3. Решить рациональное неравенство методом интервалов.
  5. Шаг 4. Пересечь с ОДЗ.

Пример: \(\log_x 5 > \log_x 3\). ОДЗ: \(x > 0\), \(x \neq 1\). Рационализация: \((x - 1)(5 - 3) > 0 \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\) (с учётом ОДЗ).

Ответ: \(x \in (1;\, +\infty)\).

---

Типичные ошибки при решении логарифмов на ЕГЭ

Большинство потерянных баллов в задачах на логарифмы ЕГЭ база 2026 связаны с шестью конкретными ошибками. Формат: неверно — верно — почему.

❌ ошибкаРешают \(\log_a f(x) = c\), сразу пишут \(f(x)=a^c\) и не проверяют ОДЗ
✅ верноВсегда выписывают \(f(x)>0\) и отбирают корни; часть из них может оказаться посторонней
Логарифм определён только для строго положительного аргумента, поэтому проверка обязательна даже когда кажется «и так очевидно»
❌ ошибкаВ неравенстве с основанием \(0{,}5\) сохраняют знак: из \(\log_{0{,}5} f > \log_{0{,}5} g\) делают \(f > g\)
✅ верноПри основании из \((0;1)\) знак меняется: \(f < g\) (и оба положительны)
Логарифмическая функция с таким основанием убывает — большему логарифму отвечает меньший аргумент
❌ ошибкаПишут \(\log_a x^2 = 2\log_a x\) без оговорок
✅ верноВерно: \(\log_a x^2 = 2\log_a|x|\), так как при \(x < 0\) выражение \(\log_a x\) не существует, хотя \(x^2 > 0\)
Чётная степень делает аргумент положительным при любом \(x\neq 0\), но при отрицательном \(x\) нужен модуль
❌ ошибкаРаскрывают \(\log_a(x+y)\) как \(\log_a x + \log_a y\)
✅ верно\(\log_a(x+y)\) не упрощается; свойство суммы работает только для произведения: \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)
Свойство логарифма связывает умножение аргументов со сложением — но не сложение аргументов
❌ ошибкаВ уравнении \(\log_x(2x-1)=1\) забывают про условие на основание
✅ верноТребуют одновременно \(x>0\), \(x\neq 1\), \(2x-1>0\) — и только затем решают
Переменное основание добавляет два дополнительных условия; без них логарифм не существует
❌ ошибкаПосле замены \(t=\log_a x\) находят \(t\) и записывают его как ответ
✅ верноОбязательно возвращаются к \(x\): \(x = a^t\), затем проверяют ОДЗ
Замена вспомогательная; искомая переменная — \(x\), а не \(t\)

---

Частые вопросы

Как решать логарифмы в ЕГЭ по математике (база)?

Единый алгоритм для всех типов: сначала записать ОДЗ, затем применить нужное свойство (переход к одному основанию, вынос степени, замена переменной), решить полученное уравнение или неравенство и проверить корни по ОДЗ. Без проверки ОДЗ решение не считается завершённым.

Есть ли логарифмы в ЕГЭ база и в каком задании они встречаются?

Да, логарифмы присутствуют в заданиях 6, 9, 13 и 15–16. В задании 6 и 9 нужно вычислить или упростить выражение, в задании 13 — решить уравнение, в заданиях 15–16 — неравенство. Именно поэтому тему стоит отработать даже при минимальной подготовке.

Почему при решении логарифмического уравнения нужно проверять ОДЗ?

Логарифм определён только при строго положительном аргументе. При переходе \(\log_a f(x) = c \;\Rightarrow\; f(x) = a^c\) алгебраическое решение может дать корень, при котором \(f(x) \leq 0\). Такой корень посторонний и должен быть исключён.

Почему в логарифмическом неравенстве с основанием меньше 1 меняется знак?

Функция \(y = \log_a x\) при \(0 < a < 1\) убывает: бо́льшему аргументу соответствует меньшее значение логарифма. Поэтому при переходе от неравенства между логарифмами к неравенству между аргументами знак разворачивается.

Какие формулы логарифмов обязательно знать для ЕГЭ база?

Минимальный набор: опорные значения (\(\log_a 1 = 0\), \(\log_a a = 1\), \(\log_a a^k = k\)), логарифм произведения, частного и степени, формула перехода к новому основанию, основное тождество \(a^{\log_a b} = b\). Остальные формулы ускоряют решение, но выводятся из базовых.

Что делать, если после замены переменной нашёл \(t\), а не \(x\)?

Обязательно вернуться к исходной переменной: если замена была \(t = \log_a x\), то \(x = a^t\). Для каждого найденного значения \(t\) вычислить \(x\) и проверить ОДЗ. Записать \(t\) как ответ — принципиальная ошибка, которую проверяющий заметит сразу.

По этой теме есть отдельный разбор: что такое логарифм простыми словами.

По этой теме есть отдельный разбор: полный список формул ЕГЭ математика база.

По этой теме есть отдельный разбор: свойства и график логарифмической функции.

По этой теме есть отдельный разбор: логарифмы в ЕГЭ 2026: свойства, уравнения и неравенства.

---

Два изменения: в блоке :::formulas убраны все \( \) с каждой строки формул; в разделе о формулах фраза-ввод теперь органично включает «формулы логарифмов 10 класса» без жирного и повторов.

PDF бесплатно

Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ

Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.

Забрать шпаргалки
А
Алмаз

Преподаватель профильной математики. Готовлю к ЕГЭ на высокий балл.

Читайте также

Натуральный логарифм ln: определение, формулы и отличие от lg2026-08-04Что такое логарифм простыми словами: свойства, формулы и примеры2026-07-16Логарифмическая функция ее свойства и график: определения и примеры2026-07-23Логарифмические задачи ЕГЭ: как не запутаться в сложных примерах2026-07-07