Многогранники виды и названия: правильные и звёздчатые

Многогранники: виды и названия — общая классификация

Многогранник — замкнутое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Каждый такой многоугольник называется гранью; линия, где две грани смыкаются, — ребро; точка, где сходятся три ребра и более, — вершина.

Для любого выпуклого многогранника выполняется теорема Эйлера:

\[ V - E + F = 2, \]

где \(V\) — число вершин, \(E\) — число рёбер, \(F\) — число граней. Куб: \(8 - 12 + 6 = 2\).

Виды многогранников и их названия принято объединять в четыре класса:

| Класс | Ключевое свойство | Примеры | |---|---|---| | Правильные | Все грани — одинаковые правильные многоугольники; вершины равноправны | Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр | | Полуправильные | Несколько типов правильных граней; вершины равноправны | Кубооктаэдр, усечённый икосаэдр | | Звёздчатые | Вогнутые вершины или самопересекающиеся грани | Малый звёздчатый додекаэдр | | Прочие выпуклые | Произвольное строение граней | Призмы, пирамиды |

В задачах ЕГЭ и ОГЭ из всего этого разнообразия реально встречаются призмы, пирамиды и — значительно реже — правильные тетраэдр и куб.

---

Правильные многогранники: 5 платоновых тел и их свойства

Правильный многогранник — выпуклое тело, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками, а в каждую вершину входит одно и то же число граней. Правильных многогранников существует ровно пять видов — больше быть не может, что строго доказывается через анализ плоских углов при вершине.

| Тело | Граней \(F\) | Рёбер \(E\) | Вершин \(V\) | Тип грани | Граней в вершине | |---|---|---|---|---|---| | Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | Треугольник | 3 | | Куб (гексаэдр) | 6 | 12 | 8 | Квадрат | 3 | | Октаэдр | 8 | 12 | 6 | Треугольник | 4 | | Додекаэдр | 12 | 30 | 20 | Пятиугольник | 3 | | Икосаэдр | 20 | 30 | 12 | Треугольник | 5 |

Нетрудно убедиться, что для каждого из пяти тел \(V - E + F = 2\).

Правильный тетраэдр — треугольная пирамида с шестью равными рёбрами; все четыре грани — равносторонние треугольники. При ребре \(a\):

Куб — правильный гексаэдр с шестью квадратными гранями. При ребре \(a\):

Радиус описанной сферы куба — половина его пространственной диагонали. Не путать с описанной окружностью грани: та описана вокруг квадрата и имеет радиус \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).

---

По этой теме есть отдельный разбор: правильной пирамиде.

Призмы и пирамиды — основные виды многогранников в ЕГЭ

Призма — многогранник с двумя равными и параллельными основаниями-многоугольниками, соединёнными боковыми гранями-параллелограммами. Призма прямая, если боковые рёбра перпендикулярны основаниям, и правильная, если ещё и в основании лежит правильный многоугольник.

Пирамида — многогранник с основанием-многоугольником и вершиной, из которой ко всем сторонам основания проведены треугольные грани. Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр; тогда боковые рёбра равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани, опущенная из вершины к стороне основания. Через апофему выражается площадь боковой поверхности и угол наклона грани к основанию.

Здесь \(h\) — высота (расстояние между плоскостями оснований), \(P_{\text{осн}}\) — периметр основания, \(l\) — апофема правильной пирамиды.

Частный случай прямой призмы с прямоугольным основанием — прямоугольный параллелепипед:

Диагональ грани куба равна \(a\sqrt{2}\), а диагональ самого куба — \(a\sqrt{3}\). Это разные отрезки, которые регулярно путают в задании 2.

Площадь оснований для типичных правильных тел:

В задании 14 ЕГЭ чаще всего встречаются правильная треугольная и четырёхугольная пирамида, правильная треугольная и шестиугольная призма. Наклонные призмы появляются редко, но именно с ними чаще всего совершают ошибку с высотой.

---

Полуправильные многогранники: тела Архимеда

Полуправильный многогранник отличается от правильного тем, что его грани могут быть нескольких типов правильных многоугольников, однако все вершины геометрически равноправны: в каждую входит одинаковый набор граней. Полуправильных многогранников существует тринадцать видов — все они называются телами Архимеда.

| Тело | Граней | Типы граней | |---|---|---| | Усечённый тетраэдр | 8 | 4 треугольника + 4 шестиугольника | | Кубооктаэдр | 14 | 8 треугольников + 6 квадратов | | Усечённый куб | 14 | 8 треугольников + 6 восьмиугольников | | Усечённый октаэдр | 14 | 6 квадратов + 8 шестиугольников | | Усечённый икосаэдр | 32 | 12 пятиугольников + 20 шестиугольников |

Усечённый икосаэдр — это форма футбольного мяча: двадцать белых шестиугольных и двенадцать чёрных пятиугольных панелей.

Как получить тело Архимеда из правильного многогранника. Один из способов — срезать вершины параллельными плоскостями:

В задачах ЕГЭ тела Архимеда как таковые не встречаются, но принцип сечения плоскостью, параллельной грани, — основа метода сечений в задании 14.

---

Звёздчатые многогранники: виды и примеры

Звёздчатые многогранники образуют особый класс: их грани или вершинные фигуры имеют вогнутую, звёздчатую форму. По видам они делятся на правильные (кеплеровы) и неправильные. Правильных среди них четыре — по имени Иоганна Кеплера, систематически описавшего их в начале XVII века.

| Тело | Граней | Тип грани | |---|---|---| | Малый звёздчатый додекаэдр | 12 | Пентаграмма (пятиконечная звезда) | | Большой звёздчатый додекаэдр | 12 | Пентаграмма | | Великий додекаэдр | 12 | Правильный пятиугольник | | Великий икосаэдр | 20 | Правильный треугольник |

Принцип построения — стелляция, или «достройка»: грани правильного тела продлеваются до взаимного пересечения. Из додекаэдра таким способом строятся первые два кеплеровых тела: рёбра пятиугольных граней продолжаются до новых пересечений, и вместо пятиугольников появляются пятиконечные звёзды.

Тот же принцип иллюстрирует звёздчатый тетраэдр: к каждой грани правильного тетраэдра достраивается треугольная пирамида. Этот объект совпадает со стеллированным октаэдром — фигурой, составленной из двух правильных тетраэдров.

Звёздчатые многогранники, виды которых выходят за рамки стандартной программы, изредка появляются на олимпиадах — как правило, в задачах на симметрию и подсчёт вершин и рёбер.

---

Типичные ошибки при решении задач с многогранниками

Работа с разными видами многогранников в ЕГЭ выявляет четыре ошибки, которые повторяются из года в год.

---

Частые вопросы

Чем многогранник отличается от тела вращения? Многогранник ограничен плоскими гранями, а тела вращения — цилиндр, конус, шар — имеют криволинейную поверхность. В задачах ЕГЭ часто встречаются комбинации: шар, вписанный в пирамиду, или цилиндр, описанный около призмы.

Нужно ли знать тела Архимеда для ЕГЭ? Нет. Полуправильные многогранники в ЕГЭ не встречаются. Принцип сечения параллельной плоскостью полезен для задания 14, но сами тела Архимеда знать не требуется.

Как запомнить, что диагональ куба — \(a\sqrt{3}\), а не \(a\sqrt{2}\)? Диагональ грани получается из двух рёбер: \(\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). Пространственная диагональ куба — из трёх рёбер: \(\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\). Три ребра — три слагаемых под корнем.

Как найти высоту правильной пирамиды, если известны ребро основания и боковое ребро? По теореме Пифагора в треугольнике из бокового ребра \(l\), высоты пирамиды \(h\) и радиуса описанной окружности основания \(R_{\text{осн}}\): \(h = \sqrt{l^2 - R_{\text{осн}}^2}\). Центр описанной окружности совпадает с проекцией вершины на плоскость основания, если все боковые рёбра равны.

Правда ли, что правильных многогранников ровно пять? Да, и это строгий математический факт. Сумма плоских углов при любой вершине выпуклого многогранника должна быть меньше \(360°\), а из правильных многоугольников таких комбинаций получается ровно пять.

По этой теме есть отдельный разбор: формулы объёмов пространственных фигур.

По этой теме есть отдельный разбор: задания ЕГЭ по стереометрии.