Правильная пирамида это: определение, свойства и формулы

Определение правильной пирамиды

Правильная пирамида это многогранник, основание которого — правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания. Основание правильной пирамиды это плоский многоугольник, все стороны и углы которого равны. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники, имеющие общую вершину — вершину пирамиды. Высота правильной пирамиды это отрезок, проведённый перпендикулярно плоскости основания из вершины к её центру. Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани, проведённая от вершины к середине стороны основания. Рёбра пирамиды делятся на рёбра основания и боковые ребра, соединяющие вершину с вершинами основания.

Свойства правильной пирамиды

Правильная пирамида свойства включают равенство всех боковых рёбер и равномерность боковых граней. Ребра правильной пирамиды это отрезки, составляющие её каркас: рёбра основания и боковые ребра. Боковые ребра правильной пирамиды это равные отрезки от вершины к вершинам основания. Высота правильной пирамиды это перпендикуляр, соединяющий вершину с центром основания. Основание правильной пирамиды это правильный многоугольник, сторона основания правильной пирамиды это одна из его равных сторон. Боковая поверхность правильной пирамиды это совокупность всех боковых граней. Площадь поверхности правильной пирамиды это сумма площадей основания и боковой поверхности. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды выражается через периметр основания и апофему.

Формулы для правильной пирамиды

Правильная пирамида формулы позволяют быстро находить объём и площади. Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h \). Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как половина произведения периметра основания на апофему: \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} l \). Полная площадь поверхности складывается из площади основания и боковой площади: \( S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \). Здесь \( l \) — апофема, а \( P_{\text{осн}} \) — периметр основания.

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр)

Правильная треугольная пирамида это пирамида, основание которой — равносторонний треугольник. Основание правильной треугольной пирамиды это равносторонний треугольник со стороной \( a \). Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна стороне самого треугольника, а сторона правильной треугольной пирамиды (боковое ребро) в общем случае может отличаться от \( a \). Если боковое ребро равно стороне основания, получается правильный тетраэдр — частный случай, у которого все шесть рёбер равны. Для правильного тетраэдра известны готовые формулы: высота \( h = \frac{a\sqrt6}{3} \), объём \( V = \frac{a^3\sqrt2}{12} \), полная площадь поверхности \( S_{\text{полн}} = a^2\sqrt3 \). Площадь основания (равностороннего треугольника) находится по формуле \( S_{\triangle} = \frac{\sqrt3}{4}a^2 \).

Правильная четырехугольная пирамида

Правильная четырехугольная пирамида это пирамида с квадратным основанием. Основание правильной четырехугольной пирамиды это квадрат со стороной \( a \). Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды определяет периметр основания \( P_{\text{осн}} = 4a \). Правильная четырехугольная пирамида свойства и формулы включают равенство боковых рёбер и связь между высотой \( h \), апофемой \( l \) и стороной основания. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной диагонали основания и боковым ребром: \( b = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2} \). Апофема — высота боковой грани — выражается как \( l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \). Объём считается по общей формуле \( V = \frac{1}{3} a^2 h \). Площадь боковой поверхности — \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l = 2al \).

Правильная шестиугольная пирамида

Правильная шестиугольная пирамида это пирамида, основание которой — правильный шестиугольник. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды все равны и обозначаются \( a \). Основание правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равносторонних треугольников со стороной \( a \), поэтому его площадь равна \( S_{6} = \frac{3\sqrt3}{2}a^2 \). Апофема такой пирамиды связана с высотой и радиусом описанной окружности основания (который равен стороне \( a \)): \( l = \sqrt{h^2 + a^2} \). Объём находится по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{6} h \). Площадь боковой поверхности — \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} l \), где периметр основания \( P_{\text{осн}} = 6a \).

Частые вопросы

Вопрос? Отсутствуют часто задаваемые вопросы для данной темы.

По этой теме есть отдельный разбор: объёмы фигур: все формулы.

По этой теме есть отдельный разбор: площади фигур: все формулы.

По этой теме есть отдельный разбор: стереометрия ЕГЭ профиль 3 задание.