Статья содержит дублированный frontmatter и мета-комментарий вместо тела — предыдущий редактор вставил служебный текст прямо в файл. FAQ-раздел уже был написан, просто структура сломана. Возвращаю чистый файл.
---
`markdown --- title: Теорема Птолемея: четырёхугольник, вписанный в окружность description: Теорема Птолемея для четырёхугольника, вписанного в окружность: AC·BD = AB·CD + AD·BC. Формулировка, доказательство и задачи с решением для задания 16 ЕГЭ. slug: teorema-ptolemeya-dlya-chetyrehugolnika-vpisannogo-v keywords: [теорема птолемея для четырехугольника вписанного в окружность, теорема птолемея формулировка, теорема птолемея доказательство, теорема птолемея задачи с решением, теорема птолемея на егэ] author: Алмаз date: 2026-07-29 cluster: \(planimetriya_okr ---\)
Теорема Птолемея — один из самых элегантных результатов планиметрии, связывающий стороны и диагонали вписанного четырёхугольника. В задании 16 ЕГЭ по геометрии она встречается регулярно, чаще всего в связке с теоремой синусов. Ниже — точная формулировка, классическое доказательство и три разобранных задачи нарастающей сложности.
Формулировка теоремы Птолемея для четырёхугольника, вписанного в окружность
Пусть четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Обозначим его стороны \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(DA = d\) и диагонали \(AC = d_1\), \(BD = d_2\).
Теорема Птолемея для четырёхугольника, вписанного в окружность, утверждает:
\[ d_1 \cdot d_2 = a \cdot c + b \cdot d \]
то есть произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: \(AB \cdot CD + BC \cdot DA\).
` B / \(\\) a b / \(\\) A × C \(\\) / d c \(\ /\) D диагонали AC и BD пересекаются внутри `
Ключевое условие — четырёхугольник должен быть вписан в окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов равнялись \(180°\): \(\angle A + \angle C = 180°\), \(\angle B + \angle D = 180°\). Для произвольного (не вписанного) четырёхугольника равенство \(d_1 d_2 = ac + bd\) не выполняется — там справедливо лишь неравенство Птолемея \(d_1 d_2 \leq ac + bd\).
Коротко
- Теорема Птолемея: \(AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA\)
- Условие применимости: четырёхугольник вписан в окружность (\(\angle A + \angle C = 180°\))
- Частный случай прямоугольника: обе диагонали равны, \(d^2 = a^2 + b^2\) (теорема Пифагора)
По этой теме есть отдельный разбор: свойства вписанного угла в окружность.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Доказательство теоремы Птолемея
Классическое доказательство использует вспомогательную точку и подобие треугольников.
Построение. На диагонали \(BD\) выберем точку \(P\) так, чтобы \(\angle BAP = \angle CAD\). Тогда \(\angle BAP = \angle CAD\) по построению.
Шаг 1. Подобие \(\triangle ABP \sim \triangle ACD\).
Вписанные углы \(\angle ABD\) и \(\angle ACD\) опираются на одну дугу \(AD\), поэтому \(\angle ABP = \angle ACD\). Вместе с \(\angle BAP = \angle CAD\) (по построению) получаем два равных угла — треугольники подобны по признаку АА:
\[ \triangle ABP \sim \triangle ACD \implies \frac{AB}{AC} = \frac{BP}{CD} \implies AB \cdot CD = AC \cdot BP. \]
Шаг 2. Подобие \(\triangle ABC \sim \triangle APD\).
Из \(\angle BAP = \angle CAD\) следует \(\angle BAC = \angle PAD\) (добавили общий угол \(\angle PAC\) к обоим). Вписанные углы \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\) на дугу \(AC\) равны, значит \(\angle ABC = \angle APD\). Снова АА:
\[ \triangle ABC \sim \triangle APD \implies \frac{AB}{AP} = \frac{BC}{PD} = \frac{AC}{AD}, \]
откуда \(BC \cdot AD = AC \cdot PD\).
Шаг 3. Сложение.
\[ AC \cdot BD = AC \cdot (BP + PD) = AB \cdot CD + BC \cdot AD. \]
Что и требовалось доказать. \(\blacksquare\)
- Доказательство теоремы Птолемея
- Шаг 1. На BD выбрать точку P: ∠BAP = ∠CAD
- Шаг 2. Доказать △ABP ∼ △ACD → AB·CD = AC·BP
- Шаг 3. Доказать △ABC ∼ △APD → BC·AD = AC·PD
- Шаг 4. Сложить: AC·BD = AC·(BP+PD) = AB·CD + BC·AD
По этой теме есть отдельный разбор: теорему о вписанном угле.
Задачи с решением по теореме Птолемея
Задача 1. Прямоугольник, вписанный в окружность
Условие. Прямоугольник \(ABCD\) вписан в окружность радиуса \(R = 5\). Стороны прямоугольника \(AB = 6\) и \(BC = 8\). Найти диагональ.
Решение.
Все прямоугольники являются вписанными четырёхугольниками (сумма противоположных углов \(90° + 90° = 180°\)). В прямоугольнике \(AB = CD = 6\), \(BC = DA = 8\), диагонали равны: \(AC = BD = d\).
По теореме Птолемея: \[ d \cdot d = AB \cdot CD + BC \cdot DA = 6 \cdot 6 + 8 \cdot 8 = 36 + 64 = 100. \] \[ d = 10. \]
Проверка: диаметр описанной окружности \(= 2R = 10\) — совпадает, диагональ прямоугольника является диаметром.
Ответ: \(d = 10\).
---
Задача 2. Ромб, вписанный в окружность
Условие. Ромб \(ABCD\) вписан в окружность. Сторона ромба \(a = 5\), одна диагональ \(d_1 = 6\). Найти вторую диагональ \(d_2\).
Замечание: вписанный ромб — это квадрат (у ромба суммы противоположных углов \(180°\) только если все углы равны \(90°\)). Но решим задачу в общем виде, допуская, что дан вписанный ромб с указанными числами (на практике в ЕГЭ могут давать изначально конкретные числа для вписанного четырёхугольника с равными сторонами).
В ромбе все стороны равны \(a = 5\), диагонали взаимно перпендикулярны. По теореме Птолемея для ромба \(ABCD\): \[ d_1 \cdot d_2 = a \cdot a + a \cdot a = 2a^2. \] \[ d_2 = \frac{2a^2}{d_1} = \frac{2 \cdot 25}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8{,}3. \]
Проверка через теорему Пифагора для полудиагоналей: \[ \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \implies 9 + \frac{625}{36} = 25? \implies \frac{324 + 625}{36} = \frac{949}{36} \neq 25. \]
Числа несогласованные — это подтверждает, что реальный ромб не может быть вписан с такими данными (только квадрат). В реальной задаче ЕГЭ данные будут согласованы; формула та же.
Ответ: \(d_2 = \dfrac{2a^2}{d_1}\).
---
Задача 3. Произвольный вписанный четырёхугольник
Условие. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. \(AB = 3\), \(BC = 5\), \(CD = 4\), \(DA = 6\), диагональ \(AC = 7\). Найти диагональ \(BD\).
Решение.
Проверим условие вписанности — по условию задачи четырёхугольник уже вписан. Применяем теорему Птолемея: \[ AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA. \] \[ 7 \cdot BD = 3 \cdot 4 + 5 \cdot 6 = 12 + 30 = 42. \] \[ BD = \frac{42}{7} = 6. \]
Ответ: \(BD = 6\).
- Алгоритм применения теоремы Птолемея
- Шаг 1. Убедиться, что четырёхугольник вписан в окружность
- Шаг 2. Записать формулу: AC·BD = AB·CD + BC·DA
- Шаг 3. Подставить известные стороны и диагональ
- Шаг 4. Решить уравнение относительно неизвестной диагонали
- Шаг 5. Проверить: результат положительный и не противоречит неравенству треугольника
Теорема Птолемея на ЕГЭ: задание 16 и типовые приёмы
Теорема Птолемея на ЕГЭ почти никогда не применяется в одиночку: стороны вписанного четырёхугольника редко даны явно — они выражаются через центральные углы дуг и радиус описанной окружности.
Типовая связка в задании 16:
- 1. Дуги четырёхугольника (или вписанные углы) известны — выразить стороны через \(R\) и синусы.
- 2. Подставить в формулу Птолемея.
- 3. Найти неизвестное (обычно диагональ или \(R\)).
Ключевая формула. Хорда, стягивающая дугу \(\alpha\): \[ a = 2R\sin\frac{\alpha}{2}. \]
По теореме синусов для треугольника \(ABD\) (вписанного в ту же окружность): \[ \frac{AB}{\sin \angle ADB} = 2R \implies AB = 2R\sin\angle ADB. \]
Пример структуры решения.
Пусть дуги \(\smile AB = 2\alpha\), \(\smile BC = 2\beta\), \(\smile CD = 2\gamma\), \(\smile DA = 2\delta\), где \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180°\). Тогда: \[ AB = 2R\sin\alpha,\quad BC = 2R\sin\beta,\quad CD = 2R\sin\gamma,\quad DA = 2R\sin\delta. \]
Диагонали: \(AC\) стягивает дугу \(ABC\), то есть \(\smile AC = 2(\alpha+\beta)\), поэтому \(AC = 2R\sin(\alpha+\beta)\). Аналогично \(BD = 2R\sin(\beta+\gamma)\).
Подставляем в теорему Птолемея: \[ 2R\sin(\alpha{+}\beta)\cdot 2R\sin(\beta{+}\gamma) = 2R\sin\alpha\cdot 2R\sin\gamma + 2R\sin\beta\cdot 2R\sin\delta. \]
Делим обе части на \(4R^2\): \[ \sin(\alpha+\beta)\sin(\beta+\gamma) = \sin\alpha\sin\gamma + \sin\beta\sin\delta. \]
Это — тригонометрическая форма теоремы Птолемея, удобная для задач, где заданы углы, а не длины.
- Связка Птолемея + теорема синусов в задании 16
- Шаг 1. Записать дуги или вписанные углы, соответствующие каждой стороне
- Шаг 2. Выразить стороны через R: a = 2R·sin(α/2)
- Шаг 3. Выразить диагонали через R аналогично
- Шаг 4. Подставить всё в AC·BD = AB·CD + BC·DA
- Шаг 5. Сократить R² и решить полученное тригонометрическое уравнение
Типичные ошибки при применении теоремы Птолемея
Первая ошибка особенно коварна: параллелограмм, трапеция или просто произвольный четырёхугольник — вписанными не являются (если не выполнено условие на углы). Подставлять в формулу Птолемея можно лишь убедившись в вписанности.
Вторая ошибка в порядке сторон: если вершины идут \(A, B, C, D\) по окружности, то пары противоположных сторон — это \((AB, CD)\) и \((BC, DA)\), а не \((AB, BC)\).
Третья ошибка возникает при совместном использовании теоремы Птолемея с теоремой синусов: забывают множитель 2, и радиус оказывается вдвое меньше реального.
По этой теме есть отдельный разбор: задания по планиметрии ЕГЭ профиль.
Часто задаваемые вопросы
Для каких четырёхугольников применима теорема Птолемея?
Только для вписанных в окружность. Необходимое и достаточное условие вписанности: суммы противоположных углов равны \(180°\), то есть \(\angle A + \angle C = 180°\) и \(\angle B + \angle D = 180°\). Для произвольного (не вписанного) четырёхугольника выполняется лишь неравенство \(d_1 d_2 \leq ac + bd\).
Как выглядит теорема Птолемея в записи через стороны?
\(AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA\), где \(AC\) и \(BD\) — диагонали, а \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) — стороны четырёхугольника \(ABCD\), вписанного в окружность. Перемножаются именно противоположные стороны: \(AB\) с \(CD\) и \(BC\) с \(DA\).
Почему для прямоугольника теорема Птолемея даёт теорему Пифагора?
В прямоугольнике диагонали равны (\(AC = BD = d\)) и противоположные стороны попарно равны (\(AB = CD = a\), \(BC = DA = b\)). Подстановка в формулу Птолемея: \(d \cdot d = a \cdot a + b \cdot b\), то есть \(d^2 = a^2 + b^2\) — это в точности теорема Пифагора.
Можно ли применить теорему Птолемея к трапеции?
Только к равнобедренной трапеции: она всегда является вписанной (основания параллельны, поэтому \(\angle A + \angle D = 180°\)). Произвольная трапеция вписанной не является, и формула Птолемея к ней неприменима.
Как теорема Птолемея используется в задании 16 ЕГЭ?
Стороны и диагонали выражают через радиус описанной окружности \(R\) и синусы соответствующих дуг: \(a = 2R\sin\tfrac{\alpha}{2}\). После подстановки в формулу Птолемея множитель \(4R^2\) сокращается, и остаётся тригонометрическое уравнение относительно неизвестного угла или \(R\).
Чем неравенство Птолемея отличается от теоремы Птолемея?
Теорема Птолемея — это равенство \(d_1 d_2 = ac + bd\), которое выполняется только для вписанного четырёхугольника. Неравенство Птолемея \(d_1 d_2 \leq ac + bd\) справедливо для любого четырёхугольника, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник вписан в окружность. `
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.