Вписанная окружность в треугольник: свойства и формулы радиуса

Готово. Возвращаю полный файл:

---

`markdown --- title: Вписанная окружность в треугольник: свойства и формулы радиуса description: Вписанная окружность в треугольник: свойства, формулы радиуса для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольника, трапеции. Разбор задач ЕГЭ и ОГЭ. slug: vpisannaya-okruzhnost-v-treugolnik-svojstva keywords: [вписанная окружность в треугольник свойства, вписанная окружность в треугольник формулы, свойства вписанной окружности в треугольнике, вписанная окружность в прямоугольный треугольник, свойства окружности вписанной в прямоугольный треугольник, вписанная окружность в трапецию, свойства касательной вписанной окружности в треугольник] author: Алмаз date: 2026-07-28 cluster: \(planimetriya_okr ---\)

Вписанная окружность и описанная — это два объекта, которые на ЕГЭ и ОГЭ нередко путают. Вписанная окружность находится внутри многоугольника и касается каждой стороны изнутри; описанная проходит через вершины, то есть сам многоугольник вписан в неё. В любой треугольник можно вписать окружность — это верно всегда. Вписанная окружность в четырёхугольник и трапецию возможна лишь при специальном условии на стороны. В статье разобраны все вписанная окружность в треугольник формулы, ключевые свойства для всех основных случаев и типичные ошибки в задачах ЕГЭ и ОГЭ.

Что такое вписанная окружность: основные свойства и центр

Вписанная окружность в треугольник — это окружность, которая лежит внутри треугольника и касается каждой его стороны ровно в одной точке.

Центр вписанной окружности называют инцентром. Свойство центра окружности вписанной в треугольник: инцентр — точка пересечения трёх биссектрис треугольника. Именно потому инцентр равноудалён от всех трёх сторон, а это расстояние и есть радиус \(r\).

Три свойства окружности вписанной в треугольник, которые нужно знать без подсказок:

Последнее — ключевое свойство касательной вписанной окружности в треугольник при решении задач. Обозначим отрезки касательных из вершин \(A, B, C\) как \(x, y, z\). Тогда стороны выражаются через них: \(a = y + z\), \(b = x + z\), \(c = x + y\). Это позволяет составлять уравнения без лишних построений.

Типичная ошибка: инцентр не совпадает с центроидом (точкой пересечения медиан). Центроид делит каждую медиану в отношении \(2:1\) от вершины и не обязан быть равноудалён от сторон. В правильном треугольнике эти точки совпадают — но это исключение, а не правило.

Формулы радиуса вписанной окружности в треугольник

Главная формула:

\[r = \dfrac{S}{p}\]

где \(S\) — площадь треугольника, \(p = \dfrac{a+b+c}{2}\) — полупериметр.

Вывод. Соединим инцентр \(I\) с вершинами \(A, B, C\). Треугольник распадается на три меньших с основаниями \(a, b, c\) и одинаковой высотой \(r\):

\[S = \tfrac{1}{2}r\cdot a + \tfrac{1}{2}r\cdot b + \tfrac{1}{2}r\cdot c = r\cdot\dfrac{a+b+c}{2} = r\cdot p\]

Отсюда \(r = S/p\).

Если заданы только стороны, площадь находится по формуле Герона, и свойства радиуса окружности вписанной в треугольник принимают вид:

В задачах ЕГЭ оба радиуса могут встречаться в одном условии. Формулы принципиально разные: \(r\) зависит от площади и периметра, \(R\) — от произведения сторон и площади. Подмена одного на другое — одна из самых частых ошибок.

Пример. Треугольник со сторонами \(5, 12, 13\). Проверка: \(5^2 + 12^2 = 169 = 13^2\) — прямоугольный. Площадь: \(S = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12 = 30\). Полупериметр: \(p = 15\). Радиус: \(r = 30/15 = 2\).

Вписанная окружность в прямоугольный треугольник: свойства

Свойства окружности вписанной в прямоугольный треугольник дают компактную частную формулу. Пусть \(a, b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза:

\[r = \dfrac{a + b - c}{2}\]

Доказательство через равные касательные. Обозначим длины касательных из вершин: из вершины прямого угла \(C\) — отрезок \(x\), из \(B\) — \(y\), из \(A\) — \(z\). Стороны:

\[a = BC = x + y, \quad b = AC = x + z, \quad c = AB = y + z\]

Складываем: \(a + b = 2x + (y + z) = 2x + c\), откуда \(x = (a+b-c)/2\).

Поскольку центр вписанной окружности расположен на расстоянии \(r\) от обоих катетов, а угол между ними прямой, центр находится в точке \((r,\, r)\) от вершины прямого угла. Значит, \(x = r\), и формула доказана.

Задача (типовой ОГЭ). В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.

Гипотенуза: \(c = \sqrt{36+64} = 10\). Радиус: \(r = (6 + 8 - 10)/2 = 2\).

Проверка: \(S = 24\), \(p = 12\), \(r = 24/12 = 2\). ✓

Вписанная окружность в правильный и равнобедренный треугольник

Правильный (равносторонний) треугольник. Окружность вписанная в правильный треугольник обладает максимальной симметрией. Все её свойства выражаются через сторону \(a\):

Свойство высоты равностороннего треугольника вписанного в окружность: высота делится инцентром в отношении \(2:1\) от вершины. Верхние \(2/3\) высоты — это \(R\) (расстояние от вершины до инцентра совпадает с радиусом описанной окружности), нижняя \(1/3\) — радиус вписанной \(r\).

В правильном треугольнике инцентр, центроид, ортоцентр и центр описанной окружности совпадают в одной точке.

Равнобедренный треугольник с основанием \(b\) и боковыми сторонами \(a\):

\[h = \sqrt{a^2 - \dfrac{b^2}{4}}, \qquad r = \dfrac{bh}{2a + b}\]

Формула получается из \(r = S/p\): площадь \(S = \tfrac{1}{2}bh\), полупериметр \(p = a + b/2\).

Свойства равнобедренного треугольника вписанного в окружность: ось симметрии проходит через инцентр и центр описанной окружности. Свойства равностороннего треугольника вписанного в окружность включают в себя совпадение всех замечательных точек — это удобно использовать при поиске координат центра.

Треугольник, вписанный в окружность: свойства углов и биссектрис

Прежде всего — разграничение понятий:

Когда говорят «треугольник вписанный в окружность свойства углов», речь идёт о треугольнике, вписанном в описанную окружность. Вписанный треугольник в окружность свойства и формулы строятся на теореме о вписанном угле:

\[\angle ABC = \dfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{AC}\]

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается (и половине соответствующего центрального угла).

Следствия, которые нужны для задания 1 ЕГЭ:

Свойства биссектрисы треугольника вписанного в окружность: биссектриса из вершины \(A\) делит пополам ту дугу, которая противолежит вершине \(A\) (дугу \(BC\), не содержащую \(A\)).

Вписанная окружность в четырёхугольник: условие и свойства

Не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность — это одна из типичных ошибок ЕГЭ. Вписанная окружность в четырёхугольник существует тогда и только тогда, когда выполнено условие:

\[AB + CD = BC + AD\]

Суммы длин противоположных сторон должны быть равны.

Проверка на примерах:

Ромб: все стороны равны \(a\), поэтому \(a + a = a + a\) — условие выполнено. Ромб всегда имеет вписанную окружность, \(r = h/2\) (где \(h\) — высота ромба).

Квадрат: частный случай ромба, \(r = a/2\).

Прямоугольник со сторонами \(a \neq b\): условие \(a + a = b + b\) даёт \(a = b\) — только квадрат среди прямоугольников имеет вписанную окружность.

Свойства вписанного в окружность треугольника четырёхугольника не переносятся на четырёхугольники автоматически: для треугольника вписанная окружность есть всегда, для четырёхугольника — только при выполнении условия выше.

Вписанная окружность в трапецию: свойства и формула радиуса

Вписанная окружность в трапецию существует при условии описанного четырёхугольника, применённого к трапеции. Если \(a\) и \(c\) — основания, \(b\) и \(d\) — боковые стороны:

\[a + c = b + d\]

Сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Формула радиуса. Используем \(r = S/p\):

• - Площадь трапеции: \(S = \dfrac{a+c}{2}\cdot h\)
• - Полупериметр: \(p = \dfrac{a+b+c+d}{2} = \dfrac{2(a+c)}{2} = a+c\) (так как \(b+d = a+c\))

\[r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\dfrac{a+c}{2}\cdot h}{a+c} = \dfrac{h}{2}\]

Задача. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Основания равны 4 и 10. Найдите радиус.

Сумма оснований: \(4 + 10 = 14\). По условию вписанности боковые стороны в сумме тоже дают 14, значит каждая боковая сторона \(= 7\).

Высота: \(h = \sqrt{7^2 - \left(\dfrac{10-4}{2}\right)^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).

Радиус: \(r = \dfrac{h}{2} = \sqrt{10}\).

Частые вопросы

Какие свойства окружности вписанной в треугольник?

Вписанная окружность касается каждой стороны треугольника ровно в одной точке. Центр (инцентр) — точка пересечения биссектрис. Радиус перпендикулярен стороне в точке касания. Касательные из одной вершины до точек касания равны. Эти свойства позволяют обозначить касательные отрезки и выразить стороны треугольника через них.

Как найти радиус вписанной окружности в треугольник?

Основная формула: \(r = S/p\), где \(S\) — площадь, \(p\) — полупериметр. Для прямоугольного треугольника с катетами \(a, b\) и гипотенузой \(c\): \(r = (a+b-c)/2\). Для правильного треугольника со стороной \(a\): \(r = a\sqrt{3}/6\). Все три формулы согласованы — каждая следует из общей \(r = S/p\).

Чем отличается вписанная окружность от описанной?

Вписанная окружность находится внутри треугольника и касается сторон; её центр — инцентр (пересечение биссектрис), формула \(r = S/p\). Описанная окружность проходит через вершины треугольника; её центр — описанный центр (пересечение серединных перпендикуляров), формула \(R = abc/(4S)\). Радиусы разные, формулы разные, центры разные.

Каковы свойства вписанной окружности в прямоугольный треугольник?

Радиус равен \(r = (a+b-c)/2\), где \(a, b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза. Центр расположен на расстоянии \(r\) от обоих катетов — в точке \((r,\, r)\) от вершины прямого угла. Формула удобна тем, что не требует вычисления площади: достаточно знать три стороны.

При каком условии в четырёхугольник можно вписать окружность?

Вписанная окружность в четырёхугольнике существует тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: \(AB + CD = BC + AD\). Это выполняется для любого ромба и квадрата, но не для произвольного прямоугольника (если только он не является квадратом) и не для любой трапеции.

Как найти радиус вписанной окружности в трапецию?

Если условие вписанности выполнено (\(a + c = b + d\)), радиус равен \(r = h/2\), где \(h\) — высота трапеции. Это прямое следствие формулы \(r = S/p\): полупериметр такой трапеции равен сумме оснований \(a + c\), а площадь равна \((a+c)/2 \cdot h\), откуда и получается \(r = h/2\).

По этой теме есть отдельный разбор: описанной окружности треугольника.

По этой теме есть отдельный разбор: биссектрисы треугольника.

По этой теме есть отдельный разбор: центральный и вписанный угол окружности.

По этой теме есть отдельный разбор: задачах по планиметрии ЕГЭ. `

---

Что исправлено:

1. 1. :::formulas (все три блока) — убраны \( \) вокруг TeX во всех строках.
2. 2. Непокрытый ключ «вписанная окружность в четырёхугольник» — вписан в первый абзац естественной фразой («Вписанная окружность в четырёхугольник и трапецию возможна лишь при специальном условии на стороны»).
3. 3. Всё остальное — структура, компоненты :::, формулы вне :::formulas — не тронуто.